Prova da infinitude dos primos usando topologia

Essa postagem foi publicada originalmente no meu antigo blog, mas eu resolvi trazê-la para cá também, por que essa postagem é zica. Aliás, eu pretendo fazer uma releitura de várias das antigas postagens de lá e estas serão marcadas com a tag #recordar é viver.

O fato de que existem infinitos números primos é algo bastante conhecido. Os gregos já sabiam disso, o que reforça a tese de que eles manjavam das putarias. Quando Euclides provou este fato, não havia dúvidas de que estava correto. Tínhamos uma demonstração, e é o que bastava. Do ponto de vista do rigor matemático, qualquer outra demonstração diferente desta, embora válida, é totalmente supérflua.

Mas isso tudo é balela. O fato é que os matemáticos são criaturas estranhas o suficiente para gostar de ficar procurando provas alternativas de resultados conhecidos. E isso é o que é importante.

Fora Euclides, vários matemáticos conhecidos se orgulham de terem sua própria demonstração da infinitude dos primos. Entre eles podemos citar: Leonhard Euler, Christian Goldbach e Paul Erdös, todos eles verdadeiros pica das galáxias no que concerne a matemática. Mas uma demonstração em particular chama a atenção por ser um tanto, como podemos dizer, curiosa. Trata-se da demonstração do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A prova foi publicada em 1951 no periódico American Mathematical Monthly e é bem simples na verdade. Ou talvez, simples para os matemáticos.Veja o artigo aqui.

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Hillel Fürstenberg: o cara manja das putarias

Aviso Importante: A partir de agora começa a matemática de respeito. Se você tem aversão a qualquer tipo de argumento matemático, é melhor parar aqui, especialmente se você não conhece o Teorema da Bola Cabeluda.

Para cada a,b \in \mathbb{Z} considere o conjunto

N_{a,b} = \{ a+nb | n \in \mathbb{Z} \}

Em outras palavras, N_{a,b} é o conjunto dos termos da progressão aritmética com razão b e termo inicial a. Declaramos que estes conjuntos formam uma base para o nossa topologia. Ou seja, os abertos são uniões arbitrárias de conjuntos N_{a,b}.

Precisamos, é claro, verificar que tais conjuntos são fechados para intersecções finitas. Sejam então A_1, A_2 dois abertos dessa topologia. Tome a \in A_1 \cap A_2. Por definição, existem b_1,b_2 \in \mathbb{Z} tais que N_{a,b_i} \subset A_i.  Daí é fácil ver que N_{a,b_1b_2} \subset A_1 \cap A_2.

Portanto, isso de fato constitui uma topologia para \mathbb{Z}.

Observe que todo aberto não vazio é infinito.

Afirmação: Todo aberto básico é também um fechado.

Com efeito, basta se convencer da seguinte igualdade:

N_{a,b} = \mathbb{Z} - \bigcup_{i = 1}^{b-1} N_{a+i,b}

Deixaremos ao leitor o prazer de verificar esta igualdade no conforto e privacidade de seu quarto.

Agora os números primos entram na jogada. Sabemos pelo famigerado Teorema Fundamental da Aritmética que todo inteiro n \neq -1,1 possui um divisor primo p, logo n \in N_{0,p}. Seja \mathcal{P} o conjunto dos números primos. Do exposto acima, temos que

\mathbb{Z}- \{-1,1\} = \bigcup_{p \in \mathcal{P}} N_{0,p}

Mas ora, se \mathcal{P} fosse finito, então

\bigcup_{p \in \mathcal{P}} N_{0,p}

seria um fechado.

Mas então {-1,1} seria um aberto não vazio e finito. Contradição! Portanto, \mathcal{P} é infinito. CQD

Pois é, esse Fürstenberg também manja das putarias.

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