[Newsletter] #02 – True Detective, conhecimento matemático e primos gêmeos

Olá, pessoal. Hoje trago a segunda Newsletter do blog. Não está tão completa e diversificada como a primeira, mas é porque tive pouco tempo para prepará-la. Mas espero que gostem.

Ponto de Acumulação

(de ideias, fatos e pensamentos)

The light is winning

A internet aqui em casa está indo de mal a pior. De vez em quando ela me deixa na mão. Agora que ela está caindo com mais frequência, resolvi fazer algo útil quando isso acontece. Portanto estou reassistindo  esta que é sem sombra de dúvidas umas das melhores obras-primas produzida pela humanidade. Estou falando, é claro, de True Detective. Tenho a primeira temporada ainda no meu note 🙂

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Se você ainda não viu essa série, recomendo que veja logo. É simplesmente fantástica. Não é, certamente, uma série família. Pelo contrário, a história é crua, fria, sombria, e está cagando para a moral e os bons costumes da família tradicional brasileira. É uma série que choca e incomoda. Porém, mais que isso, é uma série para fazer refletir sobre a natureza humana. Assista com a mente aberta e livre de preconceitos. São abordados temas delicados como religião, paganismo, pedofilia, adultério, prostituição e insanidade. É uma história forte e complexa, mas poética.

Mas apesar de tudo, lembre-se de, na próxima vez que você contemplar o céu noturno, não focar sua atenção na escuridão dele e dizer que ela está vencendo. Observe bem as estrelas cintilantes e sua luz. No início havia apenas apenas escuridão. Agora temos as estrelas cintilantes. Ao que parece, a luz está vencendo.

light's winning


A torre do conhecimento matemático (ou por que os gregos estão ultrapassados)

Quero começar este texto citando um trecho do livro A vida, o universo e tudo mais, do Douglas Adams. É o trecho que fala sobre viagens no tempo:

A Enciclopédia Galáctica tem muito a dizer sobre a teoria e prática das viagens no tempo, mas a maioria do que ela diz é incompreensível para qualquer um que não tenha passado pelo menos quatro vidas estudando hipermatemática avançada e, uma vez que isso era impossível antes da invenção das viagens no tempo, reina uma certa confusão a respeito de como a ideia  surgiu inicialmente. Uma racionalização desse problema declara que viajar no tempo foi, por sua própria natureza, descoberta simultaneamente em todos os períodos da história, mas isso obviamente não faz o menor sentido. O problema é que boa parte da história atualmente também não faz o menor sentido.

Douglas Adams, em A vida, o universo e tudo mais, pg 80.

Considero este um dos melhores trechos dos cinco livros (eu na verdade tenho um .doc com as melhores citações). Mas o que quero falar aqui não é sobre viagens no tempo (talvez um outro dia). O que quero é apontar outra discussão. Esta se baseia no trecho que diz que é preciso passar quatro vidas estudando hipermatemáticas avançada para compreender a teoria por trás da viagem temporal e em um diálogo que tive com um amigo. A essência da ideia é, na verdade, dele.

Acho que é um tanto óbvio que, se um dia realmente descobrirmos a viagem no tempo, a matemática por trás das teorias físicas que embasariam tal feito seria bem avançada. Hoje é necessário matemática a nível de graduação para pelo menos ter uma compreensão razoável de teorias como Relatividade Geral e Mecânica Quântica. Para coisas mais profundas, digamos, teoria de supercordas, é necessário matemática ainda mais fina. Em resumo, se você quer ser um físico teórico, tem que estudar matemática do século XX e se quiser fazer pesquisa, é necessário estar antenado no que vem acontecendo na matemática do século XXI. Não dá para ser um físico sério se você não sabe o que é o espaço de Minkowski.

É impossível fazer pesquisa em física (e em outras ciências) sem saber matemática. Às vezes, matemática pesada. Mas é claro, ninguém irá passar quatro vidas estudando para compreender a teoria por trás das viagens temporais. Isso não faz sentido. Ou será que faz?

Este é o meu ponto. É apenas um chute, uma teoria filosófica sobre o conhecimento humano. Talvez estejamos longe de isso acontecer. Talvez nunca aconteça. Mas há um aparente paradigma no que concerne ao aprendizado da matemática. Vamos começar do começo. Pegue por exemplo, os gregos. Eles ficaram famosos por terem axiomatizado a matemática, lançando as bases sólidas desta ciência. Eles fizeram a geometria como conhecemos. Pitágoras provou o teorema que leva seu nome. Tales provou o teorema que leva seu nome. Papus provou o teorema que leva seu nome. Outros tantos dedicaram muito esforço estudando os Três Problemas da Antiguidade (a saber, trissecção do ângulo, quadratura do círculo e duplicação do cubo). Os Elementos de Euclides era o livro-texto usando na Universidade de Alexandria. O que os gregos faziam era pesquisa de ponta para a época. O supra sumo do conhecimento.

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Pitágoras já manjava dos paranauê

Hoje qualquer estudante de ensino fundamental sabe que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Qualquer estudante de ensino médio pode entender porque os Três Problemas da Antiguidade não tinham solução. Hoje Os Elementos de Euclides poderia ser usado em um curso de geometria plana do secundário. Se os gregos tinham os Três Grande Problemas, hoje temos os Sete Problemas do Millenium (a saber, P vs NP, Conjectura de Hodge, Hipótese de Riemann, existência do Yang-Miles e da falha na massa, existência e suavidade da Navier-Stokes, Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, e a Conjectura de Poincaré, esta última já resolvida). Talvez um estudante mais crítico de graduação olhe para o Teorema de Pitágoras e diga: “É sério que os gregos estudavam isso? Isso era pesquisa na época deles?” Eu me fiz essa pergunta, certa vez. Em resumo: o que ontem era pesquisa de ponta em matemática, hoje virou assunto ensinado em escolas. E amanhã?

Séculos atrás, quando Newton e Leibniz trabalharam no que viria a se tornar o Cálculo Diferencial e Integral, aquilo era pesquisa. A nível de doutorado. Hoje é a primeira coisa que você aprende quando entra na faculdade, em um curso de exatas. O que os gregos faziam, na época deles, era matemática a nível de pesquisa. O que ontem era pesquisa acadêmica, hoje está nos livros-texto como algo a ser aprendido. Algo que é necessário, imprescindível saber, para se fazer pesquisa atual. E amanhã?

Se meu ponto ainda não está claro, deixem-me falar de algo mais próximo da minha realidade em particular. Eu estudo uma área da matemática chamada Geometria Algébrica. As sementes desta área foram lançadas por Descartes, ainda no século XVII, quando ele trabalhou nas bases da geometria analítica. A escola clássica, porém, se formou na primeira metade do século XX, com a escola italiana. Mas hoje ninguém mais faz pesquisa baseado no que os italianos faziam lá em 1930. Isso já está ultrapassado. A geometria algébrica moderna, como fazemos hoje, é totalmente baseada na teoria de esquemas, criada por Grothendieck na década de 1960. O que ele fazia era novo. Era pesquisa. Hoje é necessário saber o que são espaços localmente anelados, feixes coerentes e cohomologia para pesquisar em geometria algébrica.

Agora vem o grande problema. Para estudar geometria algébrica é preciso saber a definição básica: esquemas. Mas para saber o que é um esquema, é preciso saber o que é espaço anelado e teoria de feixes. Mas é essencial que se saiba Álgebra Comutativa, senão você morre na definição de espectro de um anel. Sem falar em teoria de categorias, que ajuda bastante. Ah, mas como eu vou fazer um curso de Álgebra Comutativa se eu nunca fiz Álgebra Abstrata? Ah, mas espera, esse espaço anelado que você mencionou aí é um espaço topológico munido com um feixe estrutural, então eu tenho que saber Topologia, né? Espera, mas eu teria que estudar espaços métricos antes de estudar Topologia? Falando em topologia, é necessário saber Topologia Algébrica? Neste caso eu teria que manjar de homologia? Ah, mas peraí, voltado pra Álgebra Abstrata, é bom eu fazer um curso de estruturas algébricas antes, não é? Eu posso fazer estruturas algébricas sem ter visto Álgebra Linear? Ah, ainda bem que pelo menos eu já fiz Geometria Analítica vetorial. Será que é bom eu fazer um curso de variedades diferenciáveis para compreender melhor essa coisa de variedades algébricas? Ou, talvez, Topologia Diferencial? Neste caso, é bom eu fazer um curso de Análise no \mathbb{R}^n antes, para não chegar caindo de paraquedas.

E assim vai.

Eu fiz todos esses cursos que mencionei, em algum momento de minha graduação ou mestrado. Perceba que isso é uma cadeia. Um assunto puxa o outro. O conhecimento matemático é como uma torre onde cada andar sustenta o outro. Se as fundações de um não estão sólidas, talvez os andares superiores caiam. É preciso estudar os assuntos dos andares anteriores se quiser ser um bom pesquisador e chegar no topo. Mas isso demanda tempo. Por isso que, em geral, é muito, mas muito raro, você ver um aluno de graduação em matemática fazendo pesquisa. Porque ele tem que aprender os fundamentos antes. Tenho amigos em várias outras áreas que acham isso estranho. Alunos, por exemplo, de Química ou Biologia que já na graduação estão no laboratório pesquisando. Mas não em matemática, salvo raras exceções. Em matemática, é preciso tempo para solidificar o conhecimento já criado pelos que vieram antes.

E aqui vai a grande pergunta que estou enrolando para fazer: será que um dia chegaremos em um ponto que será preciso passar uma vida inteira estudando matemática “básica” para podermos fazer pesquisa? Se assim for, talvez, precisemos viver pelo menos quatro vidas para sermos úteis. Talvez, o teorema que eventualmente provarei no final do meu doutorado seja considerado trivial. Talvez um aluno de graduação olhe para ele e diga: “É sério que eles estudavam isso? Isso era pesquisa na época deles?”

Até lá, talvez, já tenham inventando uma maneira de salvar nossos cérebros em potes. E os sete problemas do Millenium serão mais um capítulo de algum livro do ensino médio.


 

Plano projetivo complexo

(bem vindo ao meu mundo matemático)

 

O primeiro teorema a gente nunca esquece. Isso é fato. Nosso primeiro argumento lógico, sistematizado, partindo de hipóteses conhecidas e chegando a um resultado esperado (ou não). Resultado que foi conjecturado após algumas observações e a constatação de que poderia haver um padrão subjacente. É um momento quase mágico.

Dizem por ai que a Matemática é a ciência dos padrões. Embora não seja uma resposta satisfatoriamente completa, há uma verdade ai. Muito do ato de fazer matemática consiste em observar um sistema com certas propriedades conhecidas e tentar encontrar um paradigma que é inerente desse sistema e que não era conhecido antes. Isso está muito filosófico, então vamos ao um exemplo concreto.

Considere o conjunto dos números primos {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ….} Os gregos antigos já manjavam dos paranauê e sabiam que esse conjunto é infinito. Na época não estava bem definido o conceito de infinito. Ninguém realmente entendia o que era infinito. Somente com os trabalhos de George Cantor é que chegamos ao conceito preciso de infinitude. Mas isso é assunto para outra postagem. O fato é que o conjunto dos primos é infinito, seja qual for a noção de infinito que você tenha. Muitos matemáticos gostam de tentar brincar com os primos e encontrar padrões entre eles.

Por exemplo, é um fato conhecido que todo primo, com exceção de 2 e 3, deixa resto 1 ou 5 quando dividido por 6. Você pode simplesmente olhar para a lista acima e verificar que isso de fato é verdade para o números que lá aparecem. Talvez isso seja o suficiente para você se convencer disto. Para um matemático não é. Porque são infinitos números, logo testar para uma quantidade finita não é rigoroso o suficiente. É preciso um argumento final, que prove de uma vez por todos, sem sombras de dúvidas, que a afirmação procede.

O argumento é bem simples. Seja p um primo. Divida ele por 6, obtendo um resto r que sabemos ser um número entre 0 e 5. Assim, podemos escrever p = 6n + r onde n é o quociente. Agora, basta verificarmos as possibilidades para o resto (que varia de 0 a 5) e constatarmos que somente 1 e 5 são possíveis. De fato, se r = 2  ou r = 4 então p é divisível por 2. Não pode, a menos que p = 2 e já excluímos este caso. Se r = 3, então p é divisível por 3. Também não pode. Logo, só pode ser r = 1 ou r = 5. Como queríamos demonstrar.

O primeiro teorema que provei na vida diz respeito a primos gêmeos. Estes são pares de primos p e q tais que q = p + 2. Olhando para a lista acima, é fácil encontrar alguns destes pares:

3 e 5

5 e 7

11 e 13

17 e 19

29 e 31

41 e 43

É fácil ver também que, se excluirmos o par 3 e 5, todos os outros pares desta lista possuem um propriedade interessante. Um padrão que não quebra. Olhe com mais cuidado e você verá que entre esses pares sempre há um múltiplo de 6. Convença-se disso observando os trios:

5, 6, 7

11, 12, 13

17, 18, 19

29, 30,  31

41, 42, 43

 

Esse foi o resultado que provei, quando ainda estava no ensino médio. Meu primeiro teorema. Claro, isso é apenas uma observação besta. Outros já haviam observado isso. Não era nada novo ou desconhecido. Mas o fato é que cheguei a esta conclusão sozinho sem ninguém apontar e me dizer: “olhe só isso, entre dois primos gêmeos há sempre um múltiplo de 6”. Eu vi o padrão por conta própria.

Mas como já falei, observar o padrão não é suficiente. É preciso uma prova formal, livre de dúvidas. Um argumento lógico irrefutável. Ei-lo:

Seja p, p +2 um par de primos gêmeos, diferente do par 3 e 5. Assim, p > 3. Logo, como já foi observado, ele deixa resto 1 ou 5 quando dividido por 6. Eu afirmo que ele deixa resto 5. Por quê? Simples, pois é preciso levar em conta que p+2 também é primo maior que 3, logo deixa resto 1 ou 5 quando dividido por 6. Eis o pulo do gato. Se p deixasse resto 1, então p+2 deixaria resto 3. Isso não pode! Fim do argumento. Simples assim. Agora, como já sabemos que p deixa resto 5, então p+1 deixa resto 0 quando dividido por 6. Ou seja, p+1 é múltiplo de 6. Como queríamos demonstrar.

 Agora você tem mais um assunto para falar quando estiver com os amigos no bar. Quando o assunto estiver chato, você pode dizer que entre dois primos gêmeos há um múltiplo de 6. Pode dizer que foi eu que disse.

 


 

 

Imagem da semana

(pois uma imagem vale mais que mil palavras; é só contar os bits)

A física brasileira Diana Prado Lopes Aude Craik ganhou um prêmio de fotografia científica, promovido pelo Engineering and Physical Sciences Research Council (EPSRC), o Award-winning images of science in action. Ela faz doutorado em física quântica no MIT e a foto é parte de seu projeto de pesquisa, que foca em computação quântica.

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Eis a foto vencedora: um chip de íons.

Eu entendo pouco do assunto, mas pelo que entendi nas pesquisas, o chip utiliza micro-ondas para gerar algum tipo de “armadilha” de íons que armazenam dados quânticos. Ao que parece, o método de utilizar micro-ondas para aprisionar os íons  é mais prático que o método antigo, que utilizava feixes de laser. Esse artigo esclarece melhor o assunto.


Vídeo da semana

(luz, câmera, ação, inspiração, reflexão, emoção, transmutação, transpiração e zoação)

O Studio Ghibli ficou famoso mundo a fora pelas suas belas animações. Umas das primeiras animações do estúdio a fazer sucesso (e por coincidência, o primeiro que assisti) é Hotaru no Haka ou Cemitério dos Vagamules, em português.

A história acompanha a jornada de Seita e Setsuko, que perderam a mãe em um bombardeiro durante a Segunda Guerra. Seu pai era da marinha e fora convocado, deixando os dois irmãos sozinhos. Acompanhamos sua luta pela sobrevivência, tendo apenas a companhia um do outro como. A história é bela e comovente, ao mesmo tempo dura e cruel, ao mostrar um mundo de pessoas adultas insensíveis e gananciosas; sem falar na fome e nas doenças. É um filme muito bom (acho até que supera A viagem de Chihiro).

cemitério dos vagalumes
Por que vaga-lumes morrem tão cedo?

O filme completo está disponível no YouTube com legendas em português.


Música da semana

(afinal, não dá pra viver sem música)

Essa é simplesmente a melhor versão instrumental de The sound of silence que você ouvirá. Vá por mim.

 

 


 

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(coisas que vi pro ai)

A Ruth Dias compartilhou em seu blog um texto sobre as Três Leis de Brandon Sanderson para magia. Lá na postagem há os links para os três ensaios que ele escreveu sobre o tema. Vale muito a pena ler.

 

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Foi divulgado o vídeo da audição de Daisy Ridley para o papel de Rey em Star Wars VII.

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Um artigo acadêmico que aponta que Tyrion Lannister é o principal personagem em A canção de gelo e fogo. Na verdade, foi feito um estudo estatístico de A tormenta das espadas, que levou em conta, por exemplo, o número de pessoas as quais cada personagem está conectado e a frequência de interação entre eles. Os três maiores núcleos são aqueles centrados em Tyrion, Jon e Sansa. Veja o artigo completo aqui, publicado na revista Math Horizons.

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A LucasFilm revelou quais são as cenas deletadas que estarão no Blue Ray de Star Wars VII: O Despertar da Força.

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O escritor Lauro Kociuba foi entrevistado pelo blog Ficções Humanas. Tá bem bacana a entrevista. Confiram lá.

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