[Newsletter] #02 – True Detective, conhecimento matemático e primos gêmeos

Olá, pessoal. Hoje trago a segunda Newsletter do blog. Não está tão completa e diversificada como a primeira, mas é porque tive pouco tempo para prepará-la. Mas espero que gostem.

Ponto de Acumulação

(de ideias, fatos e pensamentos)

The light is winning

A internet aqui em casa está indo de mal a pior. De vez em quando ela me deixa na mão. Agora que ela está caindo com mais frequência, resolvi fazer algo útil quando isso acontece. Portanto estou reassistindo  esta que é sem sombra de dúvidas umas das melhores obras-primas produzida pela humanidade. Estou falando, é claro, de True Detective. Tenho a primeira temporada ainda no meu note 🙂

True-Detective-wallpapers-4.jpg

Se você ainda não viu essa série, recomendo que veja logo. É simplesmente fantástica. Não é, certamente, uma série família. Pelo contrário, a história é crua, fria, sombria, e está cagando para a moral e os bons costumes da família tradicional brasileira. É uma série que choca e incomoda. Porém, mais que isso, é uma série para fazer refletir sobre a natureza humana. Assista com a mente aberta e livre de preconceitos. São abordados temas delicados como religião, paganismo, pedofilia, adultério, prostituição e insanidade. É uma história forte e complexa, mas poética.

Mas apesar de tudo, lembre-se de, na próxima vez que você contemplar o céu noturno, não focar sua atenção na escuridão dele e dizer que ela está vencendo. Observe bem as estrelas cintilantes e sua luz. No início havia apenas apenas escuridão. Agora temos as estrelas cintilantes. Ao que parece, a luz está vencendo. Continuar lendo

[Newsletter] #01 – Watchmen, Hunter x Hunter e o último teorema de Fermat

Olá, pessoal! Esta última semana foi bem tensa para mim, devido a duas listas que tinha que entregar (para quem não sabe, eu faço doutorado em matemática). Na verdade, creio que este semestre inteiro será difícil (até mesmo minhas leituras estão comprometidas, o que significa menos resenhas).

Pensado em um meio de não deixar o blog morrer e inspirado nas versões do Rodrigo e do Thiago, resolvi criar minha própria newsletter. Ou pelo menos, algo similar a uma. Tentarei fazer postagens semanais com pequenos textos curtos (ou não) sobre assuntos diversos. A ideia é seguir a filosofia do blog, ou seja, falar sobre quase tudo, especialmente cultura pop (e matemática).

Essa postagem funcionará mais como uma versão beta da coisa. Diferentemente das versões de meus colegas escritores e blogueiros, não irei pedir para se inscreverem na minha newsletter, nem pedirei seu e-mail ou algo do gênero. A princípio. Com o tempo, observando o andar da carruagem, veremos isso. Continuar lendo

[Resenha] O andar do bêbado

Olá pessoal! Primeiro gostaria de pedir desculpas por andar meio sumido. O fato é que este semestre eu estarei menos presente no blog, devido aos estudos. Até mesmo minhas leituras estão paradas.

Mas apesar disto, hoje eu trago uma resenha, de um excelente livro de divulgação científica. Li O andar do bêbado há alguns anos e esta resenha foi postada originalmente no meu antigo blog. Mas é sempre bom relembrar boas leituras. Sem mais delongas, vamos à resenha.

 

Obra: O andar do bêbado

Autor: Leonard Mlodinow

Editora: Zahar

Gênero: Divulgação científica

Número de páginas: 324 (edição de bolso) Continuar lendo

Prova da infinitude dos primos usando topologia

Essa postagem foi publicada originalmente no meu antigo blog, mas eu resolvi trazê-la para cá também, por que essa postagem é zica. Aliás, eu pretendo fazer uma releitura de várias das antigas postagens de lá e estas serão marcadas com a tag #recordar é viver.

O fato de que existem infinitos números primos é algo bastante conhecido. Os gregos já sabiam disso, o que reforça a tese de que eles manjavam das putarias. Quando Euclides provou este fato, não havia dúvidas de que estava correto. Tínhamos uma demonstração, e é o que bastava. Do ponto de vista do rigor matemático, qualquer outra demonstração diferente desta, embora válida, é totalmente supérflua.

Mas isso tudo é balela. O fato é que os matemáticos são criaturas estranhas o suficiente para gostar de ficar procurando provas alternativas de resultados conhecidos. E isso é o que é importante.

Fora Euclides, vários matemáticos conhecidos se orgulham de terem sua própria demonstração da infinitude dos primos. Entre eles podemos citar: Leonhard Euler, Christian Goldbach e Paul Erdös, todos eles verdadeiros pica das galáxias no que concerne a matemática. Mas uma demonstração em particular chama a atenção por ser um tanto, como podemos dizer, curiosa. Trata-se da demonstração do matemático israelense Hillel Fürstenberg. A prova foi publicada em 1951 no periódico American Mathematical Monthly e é bem simples na verdade. Ou talvez, simples para os matemáticos.Veja o artigo aqui.

photoNormal
Hillel Fürstenberg: o cara manja das putarias

Aviso Importante: A partir de agora começa a matemática de respeito. Se você tem aversão a qualquer tipo de argumento matemático, é melhor parar aqui, especialmente se você não conhece o Teorema da Bola Cabeluda.

Para cada a,b \in \mathbb{Z} considere o conjunto

N_{a,b} = \{ a+nb | n \in \mathbb{Z} \}

Em outras palavras, N_{a,b} é o conjunto dos termos da progressão aritmética com razão b e termo inicial a. Declaramos que estes conjuntos formam uma base para o nossa topologia. Ou seja, os abertos são uniões arbitrárias de conjuntos N_{a,b}.

Precisamos, é claro, verificar que tais conjuntos são fechados para intersecções finitas. Sejam então A_1, A_2 dois abertos dessa topologia. Tome a \in A_1 \cap A_2. Por definição, existem b_1,b_2 \in \mathbb{Z} tais que N_{a,b_i} \subset A_i.  Daí é fácil ver que N_{a,b_1b_2} \subset A_1 \cap A_2.

Portanto, isso de fato constitui uma topologia para \mathbb{Z}.

Observe que todo aberto não vazio é infinito.

Afirmação: Todo aberto básico é também um fechado.

Com efeito, basta se convencer da seguinte igualdade:

N_{a,b} = \mathbb{Z} - \bigcup_{i = 1}^{b-1} N_{a+i,b}

Deixaremos ao leitor o prazer de verificar esta igualdade no conforto e privacidade de seu quarto.

Agora os números primos entram na jogada. Sabemos pelo famigerado Teorema Fundamental da Aritmética que todo inteiro n \neq -1,1 possui um divisor primo p, logo n \in N_{0,p}. Seja \mathcal{P} o conjunto dos números primos. Do exposto acima, temos que

\mathbb{Z}- \{-1,1\} = \bigcup_{p \in \mathcal{P}} N_{0,p}

Mas ora, se \mathcal{P} fosse finito, então

\bigcup_{p \in \mathcal{P}} N_{0,p}

seria um fechado.

Mas então {-1,1} seria um aberto não vazio e finito. Contradição! Portanto, \mathcal{P} é infinito. CQD

Pois é, esse Fürstenberg também manja das putarias.